GEOMETRIA  DINAMICA

 

Il lavoro di gruppo che abbiamo  realizzato ha preso spunto da una domanda :

“Se si ruota un quadrato di 90° che cosa si ottiene?”

Molto spesso la  risposta  è:   

“ il quadrato diventa un rombo”!!!!!

Questo ha reso  necessario qualche…..chiarimento!

I principali obiettivi del lavoro sono stati: vedere la geometria in forma “dinamica”, cogliere proprietà varianti e invarianti, analogie  e differenze,  comprendere le proprietà dei quadrilateri, in particolare dei parallelogrammi, nel passaggio da una figura all’altra per mezzo di modellini articolati.

I materiali utilizzati per la costruzione dei modellini sono stati:  asticelle di plastica, puntine fermacampione e fili elastici.

 

 Abbiamo costruito :

·         un parallelogramma

 

 

•      un rettangolo

 

 

 

 

•         un quadrato    

                        

 

 

•        un rombo

 Utilizzando  fili elastici sono state inserite le diagonali in  ciascuna delle figure.

“Muovendo”  i modellini abbiamo cominciato ad osservare cosa succedeva nel passaggio da una figura all’altra.

In particolare abbiamo discusso su:

·         Cosa cambia e cosa resta invariato nel passaggio
dal QUADRATO al ROMBO?

 

CONCLUSIONI

 

 

COSA RESTA INVARIATO	COSA CAMBIA
Il parallelismo dei lati	La lunghezza delle diagonali (non sono più congruenti tra loro))
La lunghezza dei lati	L’ampiezza degli angoli interni (non sono più retti ma due acuti e due ottusi)
La perpendicolarità delle diagonali
Il dimezzamento delle diagonali

 

 

…..e poi…..

 

·        Cosa cambia e cosa resta invariato nel passaggio
dal RETTANGOLO al    PARLLELOGRAMMA?

 

 

 

CONCLUSIONI

COSA RESTA INVARIATO	COSA CAMBIA
Il parallelismo dei lati	La lunghezza delle diagonali (non sono più congruenti)
La lunghezza dei lati	L’ampiezza degli angoli interni (non sono più retti ma due acuti e due ottusi)
Il dimezzamento delle diagonali

….e poi ancora.......

 

•  Cosa hanno in comune il QUADRATO  e il    RETTANGOLO?

•  Cosa hanno in comune il QUADRATO e il ROMBO?

•  Si può affermare che “TUTTI I QUADRATI SONO   RETTANGOLI?

•  Si può affermare che” TUTTI I QUADRATI SONO ROMBI”?

 

 

     Dopo ampia discussione  abbiamo  risposto  SI  alle ultime due domande aggiungendo che:

“i QUADRATI  sono RETTANGOLI  poiché hanno quattro

angoli retti e sono ROMBI  perché hanno quattro lati

 congruenti”

Con un diagramma di Venn , poi,  abbiamo sintetizzato così:

 

 

Con l’aiuto di altri modellini articolati che, a differenza dei precedenti, avevano le diagonali “rigide “ e i lati “elastici” è stato ancora più facile comprendere tutte le analogie e le differenze esistenti  tra i parallelogrammi studiati.

 

Al termine del lavoro  abbiamo scoperto,  imparato e compreso  le proprietà fondamentali dei parallelogrammi divertendoci, costruendo, manipolando oggetti,  ragionando, argomentando, ponendoci delle domande, formulando delle ipotesi ……
Abbiamo iniziato, inoltre, a guardare  gli oggetti che ci circondano in maniera dinamica e  speriamo di non sentir dire  mai più :

“un quadrato ruotato di 90° diventerà un rombo”

ma:

“un quadrato ruotato di 90° rimarrà un quadrato”!

                   

 

 La classe prima C:
 Lorenzo,  Gianmarco B., Alessandro, Nicole, Giulia, Walter, Carlotta, Chiara, Gianmarco G., Veronica, Ivan S., Filippo, Alessandra, Gianmarco P., Beatrice, Lavinia, Elisa, Arianna, Matteo.

•  

BREVE RESOCONTO DI UN ANNO DI ATTIVITA'

Siamo arrivati al termine di questo anno scolastico ed è tempo di bilanci. Il neonato progetto AttivaMath ed il blog che ne è parte integrante vengono presentati in questo breve filmato ... tanto entusiasmo, tanto divertimento, ... una discreta dose di fatica ... ma il bilancio è decisamente in attivo!

Grazie a tutti dall'AttivaMathTeam ... <3

Math is forever

Con ironia e fascino, il matematico Eduardo Sáenz de Cabezón risponde a una domanda che tormenta i cervelli degli studenti annoiati di tutto il mondo: 

A cosa serve la matematica? 

Egli mostra la bellezza della matematica come la spina dorsale della scienza - e dimostra che i teoremi, non i diamanti, sono per sempre.... In spagnolo, con sottotitoli in inglese

CLICCA SUL LINK E ...

https://www.ted.com/talks/eduardo_saenz_de_cabezon_math_is_forever

... BUON DIVERTIMENTO!!!

Work in Progress

Sono iniziati gli incontri pomeridiani dai quali nasceranno nuovi post .... stiamo lavorando per voi!!! ... WORK IN PROGRESS 

CENTERED (Un filmato in cui è protagonista la simmetria)

Wes Anderson, regista statunitense vincitore del Golden Globe 2015 con il film "The Grand Budapest Hotel", è "ossessionato" dalla simmetria. Godetevi questo breve filmato intitolato "Centered" in cui una linea bianca tratteggiata rende visibile l'asse di simmetria di ciascun fotogramma.

LE ISOMETRIE

Le isometrie sono trasformazioni geometriche grazie alle quali tutti i punti di una figura vengono trasportati nei punti di un'altra figura lasciandone inalterate la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli, ovvero le figure vengono semplicemente spostate senza essere deformate. 

L’unica cosa che cambia è la loro posizione, mentre, cosa molto importante, conservano perimetro e area.

Le isometrie sono anche dette "movimenti rigidi" del piano

Esse sono:

1. traslazioni
2. simmetrie (assiali e centrali)
3. rotazioni
4. glissosimmetrie (o antitraslazioni)

LA TRASLAZIONE

La traslazione è il movimento rigido di una figura su un piano lungo una direzione e secondo un verso assegnato

La traslazione è caratterizzata da tre elementi:

1.    direzione (la retta passante per i punti corrispondenti)

2.    verso o senso

3.    intensità o modulo  (rappresentata dalla misura della lunghezza dello spostamento)

I tre elementi vengono rappresentati insieme con un segmento orientato detto vettore.

Nella traslazione restano inalterate la FORMA e la DIMENSIONE mentre cambia la POSIZIONE.

Tutti i punti si spostano nella stessa direzione e della stessa distanza.

Anche Geogebra ci viene in aiuto se vogliamo creare figure che traslano sul piano (1)

Possiamo concludere che la traslazione è un movimento rigido lungo una linea retta che non deforma la figura, infatti, ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza, ogni angolo la sua ampiezza.  Quindi...non sono variate  né  la forma: la figura di partenza e quella traslata sono congruenti.

Poiché la figura traslata ha mantenuto anche la sua orientazione, la traslazione si dice isometria diretta.

LA SIMMETRIA

Simmetria significa in greco "con misura", "con armonia" e sia in natura, che nell’arte esistono molti esempi di simmetria, che spesso concorre direttamente alla bellezza degli oggetti in cui si manifesta.

Può essere assiale o centrale.

Mosaici della sala di Re Ruggero nel Palazzo dei Normanni a Palermo (890 a.C. circa)

                                                           Cattedrale di Nôtre Dame a Parigi

Vaso greco

Monumento alla fratellanza umana di Bruno Giorgi a Brasilia

Michelangelo da Caravaggio, Narciso, circa 1600.

Simmetria assiale

Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la trasformazione del piano in sé che lascia fissi tutti i punti di r e che ad ogni punto P del piano, esterno ad r, fa corrispondere il punto P’ tale che la retta r sia perpendicolare al segmento PP’ e lo tagli nel suo punto medio.

La retta che taglia una figura in due parti uguali, perfettamente sovrapponibili si chiama asse di simmetria (2).

Molti sono i Poligoni che possiedono uno o più assi di simmetria.

O figure qualunque:

Gioca un po’ con la simmetria assiale! (3)

È possibile ottenere una simmetria assiale semplicemente usando uno specchio.

Simmetria centrale

La simmetria centrale di centro C è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che C è il punto medio del segmento PP' e si dice centro di simmetria (4).

Il centro di simmetria di un segmento è il suo punto medio.

Tutti i punti di una retta sono suoi centri di simmetria (la retta è infinitamente estesa).

Il centro di simmetria di un cerchio è il centro del cerchio.

Il centro di simmetria di un parallelogramma, in particolare di un quadrato, di un rettangolo o di un rombo, è il punto d’intersezione delle sue diagonali.

Il centro di simmetria di un poligono regolare avente un numero pari di lati è il centro della circonferenza circoscritta al poligono stesso.

Ricapitolando … si definiscono figure con un centro di simmetria le figure che vengono trasformate in sé dalla simmetria centrale attorno a quel punto.

Controlla se hai capito mettendoti alla prova con un semplice esercizio (5).

Possiamo concludere che … la simmetria è una  trasformazione che non deforma la figura, infatti ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza e ogni angolo la sua ampiezza, quindi...non essendo variate né le dimensioni né la forma, la figura di partenza e quella simmetrica sono  congruenti

La simmetria (assiale) è un’isometria inversa poiché inverte l’orientazione della figura.

LA ROTAZIONE

La rotazione è una trasformazione isometrica che fa ruotare ogni punto della figura di uno stesso angolo rispetto a un punto fisso del piano detto centro di rotazione, dunque è caratterizzata da un punto fisso (che chiamiamo O e che la trasformazione lascia invariato) e dall’ampiezza di un angolo (che chiamiamo alfa).

La rotazione può avvenire in senso orario o antiorario (6)

Possiamo concludere che la rotazione non deforma la figura, infatti ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza ogni angolo la sua ampiezza, quindi...non essendo variate né le dimensioni né la forma, la figura di partenza e quella simmetrica sono  congruenti.

La rotazione è una isometria diretta.

LA GLISSOSIMMETRIA

Una glissosimmetria è una composizione di una simmetria assiale con una traslazione; può sempre essere pensata come la composizione di una particolare simmetria assiale con una traslazione nella direzione dell’asse di simmetria.

Si tratta di una isometria indiretta.

Arrivati alla fine di questo lungo percorso ...

 ... giochiamo ancora (7) ... per l'ultima volta!