Le isometrie sono trasformazioni geometriche grazie alle quali tutti i
punti di una figura vengono trasportati nei punti di un'altra figura lasciandone
inalterate la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli, ovvero le
figure vengono semplicemente spostate senza essere deformate.
L’unica cosa che
cambia è la loro posizione, mentre, cosa molto importante,
conservano perimetro e area.
Esse sono:
- traslazioni
- simmetrie (assiali e centrali)
- rotazioni
- glissosimmetrie (o antitraslazioni)
LA TRASLAZIONE
La traslazione è il movimento rigido di una figura su un piano lungo
una direzione e secondo un verso assegnato
La traslazione è caratterizzata da tre elementi:
1. direzione (la retta passante per i punti
corrispondenti)
2.
verso o senso
3.
intensità o modulo (rappresentata dalla misura della lunghezza
dello spostamento)
I tre elementi vengono rappresentati insieme con un segmento orientato
detto vettore.
Nella traslazione restano inalterate la FORMA e la DIMENSIONE mentre
cambia la POSIZIONE.
Tutti i punti si spostano nella stessa direzione e della stessa
distanza.
Anche Geogebra ci viene in aiuto se vogliamo creare figure che traslano sul piano (1)
Possiamo concludere che la traslazione è un movimento rigido lungo una linea retta che non
deforma la figura, infatti, ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza, ogni
angolo la sua ampiezza. Quindi...non sono variate né la forma: la figura di
partenza e quella traslata sono congruenti.
Poiché la figura traslata ha mantenuto anche la sua orientazione, la
traslazione si dice isometria diretta.
LA SIMMETRIA
Simmetria significa in greco "con misura", "con
armonia" e sia in natura, che nell’arte esistono molti esempi di simmetria, che spesso concorre direttamente alla bellezza degli oggetti in cui si manifesta.
Può essere assiale o centrale.
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Mosaici della sala di Re Ruggero nel Palazzo dei Normanni a
Palermo (890 a.C. circa)
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Vaso greco
Monumento alla fratellanza umana di Bruno Giorgi a Brasilia
Michelangelo da Caravaggio, Narciso, circa 1600.
Simmetria assiale
Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la trasformazione
del piano in sé che lascia fissi tutti i punti di r e che ad ogni punto P del
piano, esterno ad r, fa corrispondere il punto P’ tale che la retta r sia
perpendicolare al segmento PP’ e lo tagli nel suo punto medio.
La retta che taglia una figura in due parti uguali, perfettamente
sovrapponibili si chiama asse di
simmetria (2).
Molti sono i Poligoni che possiedono uno o più assi di simmetria.
O figure qualunque:
Simmetria centrale
La simmetria centrale di centro C è una trasformazione che ad ogni
punto P del piano associa un punto P' tale che C è il punto medio del segmento PP' e si dice centro di simmetria (4).
Il centro di simmetria di un segmento è il suo punto medio.
Tutti i punti di una retta sono suoi centri di simmetria (la
retta è infinitamente estesa).
Il centro di simmetria di un cerchio è il centro del cerchio.
Il centro di simmetria di un parallelogramma, in particolare
di un quadrato, di un rettangolo o di un rombo, è il punto d’intersezione delle
sue diagonali.
Ricapitolando … si definiscono figure con un centro di simmetria le
figure che vengono trasformate in sé dalla simmetria centrale attorno a quel punto.
Controlla se hai capito mettendoti alla prova con un semplice
esercizio (5).
Possiamo concludere che … la simmetria è una trasformazione che non deforma la figura,
infatti ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza e ogni
angolo la sua ampiezza, quindi...non essendo variate né le dimensioni né la
forma, la figura di partenza e quella simmetrica sono congruenti
La simmetria (assiale) è un’isometria inversa poiché
inverte l’orientazione della figura.
LA ROTAZIONE
La rotazione è una trasformazione isometrica che fa ruotare ogni punto della figura di uno
stesso angolo rispetto a un punto fisso del piano detto centro di rotazione,
dunque è caratterizzata da un punto fisso (che chiamiamo O e che la
trasformazione lascia invariato) e dall’ampiezza di un angolo (che chiamiamo alfa).
La rotazione può avvenire in senso orario o antiorario (6)
Possiamo concludere che la rotazione non deforma la figura, infatti ogni
lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza ogni angolo la sua
ampiezza, quindi...non essendo variate né le dimensioni né la forma, la figura
di partenza e quella simmetrica sono
congruenti.
La rotazione è una isometria diretta.
LA GLISSOSIMMETRIA
Una glissosimmetria è una composizione di una simmetria assiale
con una traslazione; può sempre essere pensata come la composizione di una particolare simmetria assiale con una traslazione nella direzione dell’asse di simmetria.
Si tratta di una isometria indiretta.
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