martedì 17 marzo 2015

«AREA E PERIMETRO»

Attività di gruppo su rettangoli isoperimetrici e rettangoli equivalenti

Molti colgono intuitivamente che tra perimetro e area di una poligono o di più poligoni esistono delle relazioni, ma non sempre riescono a capire di che tipo di relazioni si tratti ... , anzi spesso quel che si pensa non corrisponde alla realtà.

Siamo partiti dallo studio di perimetro e area del rettangolo, andando poi a sperimentare che tipo di relazione esista tra le aree di rettangoli isoperimetrici (con lo stesso perimetro) e tra i perimetri di rettangoli equivalenti (con la stessa area).


Siamo partiti da questa domanda:
"Due o più rettangoli che hanno lo stesso perimetro hanno anche la stessa area?"
Dopo un rapido confronto sulle idee di ciascuno, per poter arrivare ad una risposta adeguata e certa alla domanda posta, abbiamo "costruito" rettangoli con lo stesso perimetro usando un cordoncino lungo 20 cm, dopo averne annodato le estremità.


Con dei semplici gesti, modificando la distanza tra le dita, abbiamo ottenuto alcuni dei tanti possibili rettangoli, tutti con perimetro di 20 cm, essendo il cordoncino sempre lo stesso (e non essendo elastico).








Abbiamo poi registrato alcuni dei possibili valori di base e altezza dei rettangoli ottenuti in una prima tabella e poi in una seconda tabella, per ciascun rettangolo considerato, abbiamo riportato la lunghezza della base e l'area corrispondente.



Osservando i dati relativi alle aree dei diversi rettangoli abbiamo finalmente trovato la risposta alla nostra domanda:

"le aree di rettangoli isoperimetrici non sono tutte uguali" 

Inoltre siamo arrivati anche alla conclusione che ... 
il rettangolo di area massima è il quadrato.



Siamo rimasti sorpresi nello scoprire che  il quadrato è anch'esso un rettangolo, ma un rettangolo «speciale» infatti, oltre ad avere tutti gli angoli congruenti (caratteristica di tutti quei parallelogrammi che possiamo chiamare rettangoli), ha anche tutti i lati congruenti, quindi è un poligono regolare.

Con gli stessi dati abbiamo costruito un diagramma cartesiano e unendo i punti abbiamo ottenuto una curva chiamata "parabola".


Dopo abbiamo disegnato, colorato e ritagliato rettangoli isoperimetrici di perimetro 24 cm. I rettangoli così ottenuti li abbiamo incollati su un piano cartesiano, facendo coincidere un vertice di ciascun poligono con l’origine degli assi.



Congiungendo i vertici liberi dei rettangoli incollati sul piano cartesiano abbiamo ottenuto una retta di equazione x + y = 12 dove x e y rappresentano la base e l’altezza dei rettangoli, pertanto x + y è pari al semiperimetro.



Allo stesso risultato si può arrivare usando il software di geometria dinamica Geogebra (1)

Trovata la risposta alla prima domanda, rimaneva ancora un'altra questione da verificare:

"Due o più rettangoli che hanno la stessa area hanno anche lo stesso perimetro?"


Abbiamo proseguito la nostra attività di gruppo questa volta disegnando, colorando e ritagliando rettangoli equivalenti di area 36 cm quadrati. I rettangoli ottenuti li abbiamo incollati su un piano cartesiano, facendo coincidere un vertice di ciascun poligono con l’origine degli assi.


Congiungendo i vertici liberi dei rettangoli incollati sul piano cartesiano questa volta abbiamo ottenuto una curva chiamata iperbole di equazione x*y = 36 dove x e y rappresentano la base e l’altezza dei rettangoli.
Anche questa volta possiamo giungere allo stesso risultato usando Geogebra (2)


Abbiamo quindi calcolato il perimetro dei rettangoli ottenuti trovando anche questa volta la risposta alla nostra domanda: 
"i perimetri di rettangoli equivalenti non sono tutti uguali"
Infine siamo arrivati alla conclusione che ... 
il rettangolo di perimetro minimo è il quadrato



La II^ A ... ovvero ...
Giordano, Madalina, Giulia, Ilaria, Alessio, Diego Junior, Andrea Valeria, Adria, Gianpaolo, Flavio, Federico, Aurora, Jari, Niccolò, Stefano, Beatrice, Lorenzo, Francesca, Antonietta, Julien, Emanuela, Serges, Cecilia, Francesco.









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