martedì 17 marzo 2015

LE ISOMETRIE


Le isometrie sono trasformazioni geometriche grazie alle quali tutti i punti di una figura vengono trasportati nei punti di un'altra figura lasciandone inalterate la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli, ovvero le figure vengono semplicemente spostate senza essere deformate. 
L’unica cosa che cambia è la loro posizione, mentre, cosa molto importante, conservano perimetro e area.
Le isometrie sono anche dette "movimenti rigidi" del piano


Esse sono:
  1. traslazioni
  2. simmetrie (assiali e centrali)
  3. rotazioni
  4. glissosimmetrie (o antitraslazioni)


LA TRASLAZIONE
La traslazione è il movimento rigido di una figura su un piano lungo una direzione e secondo un verso assegnato
La traslazione è caratterizzata da tre elementi:
1.    direzione (la retta passante per i punti corrispondenti)
2.    verso o senso
3.    intensità o modulo  (rappresentata dalla misura della lunghezza dello spostamento)

I tre elementi vengono rappresentati insieme con un segmento orientato detto vettore.


Nella traslazione restano inalterate la FORMA e la DIMENSIONE mentre cambia la POSIZIONE.
Tutti i punti si spostano nella stessa direzione e della stessa distanza.


Anche Geogebra ci viene in aiuto se vogliamo creare figure che traslano sul piano (1)

Possiamo concludere che la traslazione è un movimento rigido lungo una linea retta che non deforma la figura, infatti, ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza, ogni angolo la sua ampiezza.  Quindi...non sono variate  né  la forma: la figura di partenza e quella traslata sono congruenti.
Poiché la figura traslata ha mantenuto anche la sua orientazione, la traslazione si dice isometria diretta.

LA SIMMETRIA
Simmetria significa in greco "con misura", "con armonia" e sia in natura, che nell’arte esistono molti esempi di simmetria, che spesso concorre direttamente alla bellezza degli oggetti in cui si manifesta.
Può essere assiale o centrale.




Mosaici della sala di Re Ruggero nel Palazzo dei Normanni a Palermo (890 a.C. circa)


                                                           Cattedrale di Nôtre Dame a Parigi

Vaso greco


Monumento alla fratellanza umana di Bruno Giorgi a Brasilia




Michelangelo da Caravaggio, Narciso, circa 1600.


Simmetria assiale
Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la trasformazione del piano in sé che lascia fissi tutti i punti di r e che ad ogni punto P del piano, esterno ad r, fa corrispondere il punto P’ tale che la retta r sia perpendicolare al segmento PP’ e lo tagli nel suo punto medio.

La retta che taglia una figura in due parti uguali, perfettamente sovrapponibili si chiama asse di simmetria (2).
Molti sono i Poligoni che possiedono uno o più assi di simmetria.







O figure qualunque:


Gioca un po’ con la simmetria assiale! (3)
È possibile ottenere una simmetria assiale semplicemente usando uno specchio.






Simmetria centrale

La simmetria centrale di centro C è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che C è il punto medio del segmento PP' e si dice centro di simmetria (4).



Il centro di simmetria di un segmento è il suo punto medio.


Tutti i punti di una retta sono suoi centri di simmetria (la retta è infinitamente estesa).


Il centro di simmetria di un cerchio è il centro del cerchio.

Il centro di simmetria di un parallelogramma, in particolare di un quadrato, di un rettangolo o di un rombo, è il punto d’intersezione delle sue diagonali.

Il centro di simmetria di un poligono regolare avente un numero pari di lati è il centro della circonferenza circoscritta al poligono stesso.

Ricapitolando … si definiscono figure con un centro di simmetria le figure che vengono trasformate in sé dalla simmetria centrale attorno a quel punto.

Controlla se hai capito mettendoti alla prova con un semplice esercizio (5).

Possiamo concludere che … la simmetria è una  trasformazione che non deforma la figura, infatti ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza e ogni angolo la sua ampiezza, quindi...non essendo variate né le dimensioni né la forma, la figura di partenza e quella simmetrica sono  congruenti
La simmetria (assiale) è un’isometria inversa poiché inverte l’orientazione della figura.

LA ROTAZIONE
La rotazione è una trasformazione isometrica che fa ruotare ogni punto della figura di uno stesso angolo rispetto a un punto fisso del piano detto centro di rotazione, dunque è caratterizzata da un punto fisso (che chiamiamo O e che la trasformazione lascia invariato) e dall’ampiezza di un angolo (che chiamiamo alfa).





La rotazione può avvenire in senso orario o antiorario (6)

Possiamo concludere che la rotazione non deforma la figura, infatti ogni lato della figura di partenza ha mantenuto la sua lunghezza ogni angolo la sua ampiezza, quindi...non essendo variate né le dimensioni né la forma, la figura di partenza e quella simmetrica sono  congruenti.
La rotazione è una isometria diretta.

LA GLISSOSIMMETRIA

Una glissosimmetria è una composizione di una simmetria assiale con una traslazione; può sempre essere pensata come la composizione di una particolare simmetria assiale con una traslazione nella direzione dell’asse di simmetria.

Si tratta di una isometria indiretta.



Arrivati alla fine di questo lungo percorso ...


 ... giochiamo ancora (7) ... per l'ultima volta!

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